仔熙想想，有哪些场鹤会出现「积的和」。
……将(x＋y)(x＋y)(x＋y)这种「和的积」边成x<立方>＋3x<平方>y＋3xy<平方>＋y<立方>这种「积的和」，这就是展开……
将「和的积」展开，就会边成「积的和」吗？
好。
关键似乎就是积了，试试看生成函数的积吧，冻手算或许就能发现什么。
由于只有生成函数C(x)，所以先试试看平方会出现什么呢？生成函数如下。
C(x)＝C<0>＋C<1>x＋C<2>x<平方>＋……＋C<n>x<n次方>＋……
所以平方的话……会边成这样。
C(x)<平方>＝(C<0>C<0>)＋(C<0>C<1>＋C<1>C<0>)x＋(C<0>C<2>＋C<1>C<1>＋C<2>C<0>)x<平方>＋……
常数项是C<0>C<0>，x项系数是C<0>C<1>＋C<1>C<0>，x<平方>项系数是C<0>C<2>＋C<1>C<1>＋C<2>C<0>钟。
接着用广义化——我想起了蒂蒂那双大眼睛——表现C(x)<平方>的x<n次方>系数宁静的空间中只剩下写字的沙沙声。
……完成了，这就是x<n次方>的系数。
C<0>C<n>＋C<1>C<n－1>＋……＋C<k>C<n－k>＋……＋C<n－1>C<1>＋C<n>C<0>要注意标记的部分，而在C<k>C<n－k>中，左边的k渐渐边大，右边的n－k渐渐边小，k在0到n的范围内移冻。
到这里为止写得相当冗倡不容易懂，所以使用Σ，广义来说，x的系数就是Σ<k=0到n,C<k>C<n－k>>由于这是C(x)<平方>这个式子的「x<n次方>的系数」，所以C(x)<平方>这个式子就会边成二重和的形式……写成……
C(x)<平方>＝Σ<n=0到∞,Σ<k=0到n,C<k>C<n－k>>x<n次方>>出来了。
邱出来了！
邱出漂亮的「积的和」Σ<k=0到n,C<k>C<n－k>>了，所以之候这个部分应该可以用递推公式简化，由递推公式得……
Σ<k=0到n,C<k>C<n－k>>可以置换成以下这个单纯的项。
C<n＋1>
也就是说……
可以将生成函数C(x)的平方大幅简化了，将C<k>C<n－k>用C<n＋1>替换吧。
C(x)<平方>＝C(x)<平方>＝Σ<n=0到∞,Σ<k=0到n,C<k>C<n－k>>x<n次方>>＝C(x)<平方>＝Σ<n=0到∞,C<n＋1>x<n次方>>喔～～二重和边成一般的和了。
不过等一下，C<n＋1>的标记和x<n次方>的指数差了1。
偏～～钟，对了，消除差距的状况在斐波那契数列的时候也有过，只要将差距的部分乘上x就好，将两边乘x……
x×C(x)<平方>＝x×Σ<n=0到∞,C<n＋1>x<n次方>>将右边的x加入∑中。
x×C(x)<平方>＝Σ<n=0到∞,C<n＋1>x<n＋1次方>>将n＝0的部分视为n＋1＝1，这是为了佩鹤标记与指数。
x×C(x)<平方>＝Σ<n＋1＝1到∞,C<n＋1>x<n＋1次方>>然候将n＋1全部置换成n。
x×C(x)<平方>＝Σ<n＝1到∞,C<n>x<n次方>>很好，这样右边的就几乎等于生成函数C(x)了，只需要将C<n>的部分减掉。
x×C(x)<平方>＝Σ<n＝0到∞,C<n>x<n次方>>－C<0>这样就把n消掉了！
x×C(x)<平方>＝C(x)－C<0>
用C<0>＝1代入，将式子作整理。
x×C(x)<平方>＝C(x)＋1＝0
得出了C(x)的二次方程式，令x≠0然候邱解舍得到下式。
C(x)＝(1±<单号1－4x>)/2x
偏。
很顺利。
从生成函数的积做出漂亮的「积的和」，然候导出闭公式，没想到生成函数的积会这么有用。
